《直线和圆的位置关系》教学设计

五指山思源实验学校  数学学科 辛梦凡   

一、 学情分析

本节内容是在点和圆的位置关系的基础上进一步展开的，学生可以从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系，关注知识的生成、发展与变化的过程，主动探索，勇于发现。然后结合点与圆的位置关系的数量表达式，进一步深化得到：“圆心到直线的距离d与半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化。

二、教学目标

1、掌握直线和圆的三种位置关系的定义及其判定方法和性质。

2、通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透类比、分类、数形结合的思想，培养学生观察、分析和发现问题的能力。

三、重点难点

教学重点：（1）经历探索直线和圆的位置关系的过程，得出直线和圆的三种位置关系。

         （2）用数量关系表述这三种位置关系。

教学难点：通过数量关系判断直线和圆的位置关系。

教学过程

一、         复习提问

（设计说明：通过复习，进一步熟悉基础知识，为本节内容的引入，以及本节内容的学习打下基础。）

1.         点与圆有几种位置关系？它们如何表示？

2.         直线和圆的位置关系会有哪几种情况呢？

二、实践活动，探究新知(一)

（设计说明：本节内容从人们最常见的太阳的东升西落问题展开，学生通过画圆，平移直尺实验，亲身体会到现实生活中的数学知识，更加形象地表明了直线和圆的位置关系，使学生无形中认识到学习不是负担，增强了学生学习的趣味性。）

活动1：观察太阳升起的过程中与地平线会有几种位置关系？交点各有几个？（幻灯片播放动画太阳东升）

活动2：在纸上画一个圆当太阳，把地平线看作直线，移动直线。

问题：你能发现直线与圆的公共点个数的变化有几种情况吗？公共点最少时有几个？最多时有几个？

先由学生操作、观察，发现直线和圆的位置关系，让同学分别扮演每一种情况，并写出交点的个数。

师生小结：由直线和圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：（定义，图形略）

(1) 相交：直线和圆有两个公共点，叫直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线。

(2) 相切：直线和圆有唯一的公共点，叫做直线和圆相切。这时的直线叫切线， 唯一的公共点叫切点。

(3) 相离：直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离。

三、课堂巩固（一）

（教学设计：是对基础知识的巩固与深化，是对所学的知识的变通。）

1、判断

(1)直线与圆最多有两个公共点.   （ ） 

(2)若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内.(  )

(3)若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切.(  )

(4)若C为⊙O外的一点，则过点C的直线CD与⊙O相交或相离。（  ）

2、看图判断直线l与 ⊙O的位置关系

  （图形略）

四、实践活动，探究新知(二)

问题：如果，公共点的个数不好判断，该怎么办？“直线和圆的位置关系”能否像“点和圆的位置关系”一样进行数量分析？

这里留出时间让学生探究、思考、讨论。

师生总结：直线与圆的位置关系(数量特征）

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，类似点与圆的位置关系可以用d与r的关系判断直线与圆的位置关系。（图形略）

（1）直线l与⊙O相离             d>r

（2）直线l与⊙O相切             d=r

（3）直线l与⊙O相交             d

五、课堂巩固（二）

（教学设计：对基础知识的深化，学生笔答，互相交换进行纠正，对所学知识的变通，培养了学生的团结协作，相互交流的精神。）

  1.已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围:

(1)若AB和⊙O相离, 则                           ;

(2)若AB和⊙O相切, 则                             ;

(3)若AB和⊙O相交,则                              .

2.已知圆的半径等于5,直线l与圆没有交点,则圆

  心到直线的距离d的取值范围是             .

3.已知圆的直径为13cm，设圆心到直线的距离

   为d ：

(1)   若d=4.5cm,则直线与圆____, 直线与圆 有____个公共点.     

(2)   若d=6.5cm,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.

(3)   若d=8 cm,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点

（教学说明:学生对知识的掌握往往比较死板，对新知识不能灵活运用，对直线与圆的位置关系与它的数量表达式不能进行很好的结合，这就需要强化训练。）

六、典型例题

（设计说明：讲三角形问题巧妙的用圆的知识来解答，体现出数学知识的连贯性，增强学生仔已有的知识层次上进一步讲知识扩充的能力）

例1：在RtΔ ABC中，∠C=90º，AC=4cm，BC=3cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？

（1）r=2cm;     (2)r=2.4cm;      (3)r=3cm

点拨：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道什么?

(圆心C到AB的距离d与r的大小关系)   

思考：怎样求圆心C到直线AB的距离？

解:作CD┴AB于点D

因为∠ACB=90º,AC=4,BC=3

所以AB=5

因为

所以CD=2.4,即d=2.4cm

(1)   r= 2厘米

∵ d > r ，

∴☉C 与直线AB相离

(2)   r= 2.4厘米

∵ d = r，

∴☉C 与直线AB相切

(3)   r=３厘米

∵ d ＜ r，

∴☉C 与直线AB相交

（教学说明：本例题旨在加强学生的逆向思维的能力，将三角形与圆结合，通过勾股定理计算，然后运用本节内容进行判定，将知识良好的衔接在一起。）

 

 

七、课堂巩固（三）

 

Ｍ

O

A

B

如图，已知∠AOB=30度，M为OB上一点，且OM=5cm，以M为圆心、r为半径的圆与直线OA   有怎样的位置关系？为什么？

 

(1) r=2cm   

(2) r=4cm

(3)r=2.5cm                    

 

 

八、课堂小结

1、总结直线与圆的三种位置关系，并引导学生归纳填空：

直线与圆的 位置关系	相交	相切	相离
图      形
公共点个数
公共点名称
直线名称
圆心到直线距离d与半径r的关系

2、判定直线 与圆的位置关系的方法有____种：

（1）根据定义，由__________________的个数来判断；

（2）根据性质，___________________________________的关系来判断。

在实际应用中，常采用第二种方法判定。

（教学说明：本节课类比点和圆的位置关系，从运动变化的观点研究直线和圆的位置关系；利用了分类的思想把直线与圆的位置关系分为三类来讨论；用了数形结合的思想，通过d与r这两个数量之间的关系来研究直线与圆的位置关系。学习时应注意弄清直线与圆的位置关系的性质与判定使用的区别与联系）

九、课后作业

（一）填空题

1.已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线a 的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是      ．直线a与⊙O的公共点个数是      ．

2.已知⊙O的半径是4cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是      ．

3.已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离为7cm，则直线a与⊙O的公共点个数是       ．

4.已知⊙O的直径是6cm，圆心O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是       ．

（二）选择题

1、设⊙O的半径为r，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d与r的关系是（     ）

A、d≤r      B、d＜r   C、d≥r     D、d＝r

2、设⊙O的半径为r，直线a上一点到圆心的距离为d，若d=r，则直线a与⊙O的位置关系是（   ）

A、相交      B、相切   C、相离     D、相切或相交

3.设⊙O的半径为4，圆心O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为（     ）.

A、d≤4   B、d＜4   C、d≥4  D、d＝4

4.设⊙P的半径为4cm，直线l上一点A到圆心的距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系是（     ）.

A、相交         B、相切 

C、相离         D、相切或相交

十、教学反思

   在《直线和圆的位置关系》这节课中，我首先由生活中的情景——太阳的东升动画引入，让学生发现地平线和太阳位置关系的变化，从而引出课题：直线和圆的位置关系。然后由学生平移直尺，自主探索发现直线和圆的三种位置关系，给出定义，联系实际，由学生发现日常生活中存在的直线和圆相交、相切、相离的现象，紧接着引导学生探索三种位置关系下圆心到直线的距离与圆半径的大小关系，由“做一做”进行应用，最后去解决实际问题。通过本节课的教学，我认为成功之处有以下几点：

1.由太阳的东升动画（太阳与地平线相离、相切、相交）引入，学生比较感兴趣，充分感受生活中反映直线与圆位置关系的现象，体验到数学来源于实践。对生活中的数学问题发生好奇，这是学生最容易接受的学习数学的好方法。新课标下的数学教学的基本特点之一就是密切关注数学与现实生活的联系，从生活中“找”数学“想”数学，让学生真正感受到生活之中处处有数学。

２．在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，我先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，学生很轻松的就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化，这种等价关系是研究切线的理论基础，从而为下节课探索切线的性质打好基础。

３．新课标下的数学强调人人学有价值的数学，人人学有用的数学，为此，在做一做之后我安排了一道实际问题：“经过两村庄的笔直公路会不会穿越一个圆形的森林公园？”培养学生解决实际问题的能力。由于此题要学生回到生活中去运用数学，学生的积极性高涨，都急着讨论解决方案，是乏味的数学学习变得有滋有味，使学生体会到学数学的重要性，体验“生活中处处用数学”。

同时，我也感觉到本节课的设计有不妥之处，主要有以下三点：

1.学生观察得到直线和圆的三种位置关系后，是由我讲解的三个概念：相交、相切、相离。学生被动的接受，对概念的理解不是很深刻，可以改为让学生下定义，师生共同讨论的形式给学生以思维想象的空间，充分调动学生的积极性，使学生实现自主探究。

２．虽然我在设计本节课时是体现让学生自主操作探究的原则，但在让学生探索直线和圆三种位置关系所对应的数量关系时，没有给予学生足够的探索、交流的时间，限制了学生的思维。此处应充分发挥小组的特点，让学生相互启发讨论，形成思维互补，集思广益，从而使概念更清楚，结论更准确。

３．对“做一做”的处理不够，这一环节是对探究的成绩与效果的探索与检验，重在帮助学生掌握方法，我在讲解“做一做”时，没有充分展示解题思路，没有及时进行方法上的总结，致使部分学生在解决实际问题时思路不明确。教师要根据情况，简要归纳、概括应掌握的方法，使学生能够举一反三，巩固和扩大知识，吸收、内化知识。
　　总之，新课程的课堂教学要让学生作为课堂教学的主体参与到课堂教学过程中来，充分展现自己的个性，施展自己的才华，使学生在参与和体验的过程中真正成为学习的主人，养成勇于探索、敢于实践的个性品质。与此同时，教师还要为学生的学习创造探究的环境，营造探究的氛围，促进探究的开展，把握探究的深度，评价探究的效果。