架设数学"建模"的立体平台

 

临高加来中学  数学学科  李鹏庆

 

数学是一门应用性很强的学科，数学应用也已渗透到社会生活中的方方面面。但很多学生只在考试时感到数学有用，而走出课堂，离开考场，几乎感觉不到数学的存在。

新课标中的一个重要理念是：“人人学有价值的数学，人人都获得必要的数学”。意思指数学的学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，并与学生以往的知识经验有密切的关系，并对他们才有吸引力。只有当数学和学生生活密切结合时，数学才是鲜活的，富有生命力的，才能激发学生学习和解决数学问题的兴趣。因此 数学学习的过程是让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。我在具体教学中，主要从如下几方面着手：

一、透过现实背景，挖掘数学源泉

数学源于生活，服务于生活。日常生活中的商品促销打折、派送奖券、电信资费，到每天新闻媒介带给人们的各种各样的信息，都与数学有着密切的联系。而与这些数学知识有关的，诸如比和比例、利息与利率、运筹与优化以及系统分析与决策等，都是初中数学的基本内容。作为数学教师就应从这些数学背景出发，经过学生自主体验的把握，让学生形成数学知识和能力。

 我在教学人教版八年级数学（上）第11章“一次函数”时，设计了这么一道题：

例1、A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把肥料全部运往C、D两乡，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少？

分析：可以让学生发现，A—C，A—D，B—C，B—D运肥料共涉及4个数量，一方面，它们是影响总运费的变量；另一方面，它们互相联系，其中一个量确定后另外三个量随之确定，这样我们就可以设其中一个为变量x，把其他量表示为含x的式子。然后与你的同桌讨论交流填下表格：

	C	D	总计
A	X吨	（200-x）吨	200吨
B	（240-x）吨	（60+x）吨	300吨
总计	240吨	260吨	500吨

解：设总运费为Y元，A城运往C乡的肥料量为X吨，则运往D乡的肥料量为（200-x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240-x）吨与（60+x）吨。

由总运费与各运输量的关系可知，反映y与x之间关系的函数为

Y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x），

化简得

    

 

 

 

 

Y=4x+10040（0≤x≤200）

由解析式与图象可看出：当x=0 时，Y有最小值10040。

因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨，从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值为10040元。

二、设计招聘问题，丰富数学内涵

生活中到处有数学，到处存在着数学思想。如何给学生一双“慧眼”去观察，读懂这个世界的数学显得尤为重要，关系是教师是否善于结合课堂教学内容去联系生活实际。从生活中采撷数学实例，在生活中提炼数学知识，为课堂教学服务。因此，我们在教学中可以利用课前、课后布置学生去观察体验自己身边的数学，让学生从生活中找数学的素材，感觉生活中处处有数学，丰富数学内涵。

 我在教学人教版八年级数学（下）第20章“数据的分析”时，设计了这么一道题：

例2、一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲乙两名应试者进行了听、说、读、写的英文水平测试，他们各项的成绩（百分制）如下：

应试者	听	说	读	写
甲	85	83	78	75
乙	73	80	85	82

（1）      如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3：3：2：2的比确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制）。从他们的成绩看，应该录取谁？

（2）      如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2：2：3：3的比确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制）。从他们的成绩看，应该录取谁？

分析：（1）引导学生思考数据的权能够反映数据相对“重要程度”。这家公司按照3：3：2：2的比确定听、说、读、写的成绩，说明各项成绩的“重要程度”有所不同，听、说的成绩比读、写的成绩更加“重要”。计算两名候选人的平均成绩的加权平均数，3、3、2、2分别是它们的权。（2）由于录取时侧重考虑笔译能力，所以在四项成绩的权的分配上与（1）有所不同。读、写的权大一些。

解：（1）听、说、读、写的成绩按照3：3：2：2的比确定，则甲的平均成绩为：

（85×3+83×3+78×2+75×2）/(3+3+2+2)=81

乙的平均成绩为：

      （73×3+80×3+85×2+82×2） /（3+3+2+2）=79.3，

显然甲的成绩比乙高，所以从成绩看，应该录取甲。

（2）听、说、读、写的成绩按照2：2：3：3的比确定，则甲的平均成绩为：

  （85×2+83×2+78×3+75×3）/（2+2+3+3）=79.5,

乙的平均成绩为：

      （73×2+80×2+85×3+82×3 ）/（2+2+3+3）=80.7。

显然乙的成绩比甲高，所以从成绩看，应该录取乙。

三、引导学生“建模”，感知数学神奇

数学教学的价值并非单纯地通过积累数学事实来实现，它更多地通过经历“问题情境——建立模型——解释应用——回顾拓展”的过程来完成。
    我在华东版八年级数学第13章“一元一次不等式”的教学中，提供了如下的一道题目：

例3：在“科学与艺术”的知识竞赛的预赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。育才中学25名学生通过了预选赛，他们分别可能答对了多少道题目？

 这是一道关于一元一次不等式的应用题。我在教学中，首先并没有让学生直接投入具体的解答中，而是先让学生具体感知一下：假如某同学答对了19道、18道、17道、16道……，不答或答借了1道、2道、3道、4道……，这位同学能否通过预选赛？

 如：答对16道应得16 × 10=160分，不答或答错4道应扣除5×  4=20分，该同学的实际得分为140分，得分不少于80分，因此这位同学能够通过预选赛。

 然后，请同学们思考，上面的问题可以用什么方法解答，怎么解答？与你的同桌讨论交流。

 通过讨论与交流，学生最后明白：当问题中数量间存在相等关系时，可列方程解决问题；当问题存在不等关系时，找出问题的核心，可通过列不等式来解决。

 于是，得到如下几种不同解法：

解法1：

 因为总得分不少于80分。设他们可能答对了X道题，不答或答错了的则为（20- X）道。根据题意得：10 X-5（20- X）≥80。解得：X≥12。

解法2：

 如果全答对可得满分200分，那么答错或不答一道题应扣除15分。设至少答错或不答为X道。根据题意可得：15 X≤200-80。

解法3：

 如果全错则-100分，那么每答对一道应加上15分，设答对X道题，则题意可得：

-100+15 X≥80。

以上就是参照列方程的基本思想，从实际问题中抽象出数量关系，从列代数式到不等式，将具体的生活实际问题，转化为抽象的纯数学的问题来解答，为学生顺利地建立起“一元一次不等式”模型打好了基础。

四、注重实际应用，提高数学兴趣

 有效的数学学习来自于学生对数学活动的参与。而只有学会应用才能使所学的数学富有生命力，才能真正实现数学的价值，激发学生学习数学的热情。

 我在教学人教版八年级数学（上）第14章“轴对称”时，设计了这么一道题：

    例4：如图2是一层楼的楼梯ABC的剖面示意图。请你用学过的数学知识解释，为什么楼的每层楼梯ABC往复转折处的回廊BC都在每层楼高EF的的中间位置。

 

 

 

 

 

如图3，过回廊BD的端点B作AF的垂线L，关于直线L的对称点Q，连结QC交直线L于点P，连接AP，过点C作CN垂直于L，垂足为点N。

∴∠CPN=∠QPM ，∠AMP=∠CNP=90° ，因走廊的宽度相同，则CN=AM 。

由轴对称性质可知 AP=QP ，AM=QM ，∠APM=∠QPM ，

∴△CPN≌△QPM .

∴PN=PM ,CP=PQ ,即P为MN的中点时,折线APC为最短(两点C、Q之间线段CQ最短)。

所以，只有楼梯ABC的往复转折处的回廊BD建在每层楼高的中间位置时，楼梯ABCR的长度最短、最省材料。

     实践证明，只有把教学归于实践，归于生活。并将教学向生活延伸，达到生活材料数学化，数学教学生活化，生活实践数学化， 努力为学生架设起数学建模的立体平台，学生一定愿意学数学，也一定能学好数学。学生真正获得富有生命力的数学知识。让学生学到有用的数学。